Прості та складені числа. Цікавинки

Решето Ератосфена

Решето́ Ератосфе́на в математиці — простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел менших деякого цілого числа n, що був створений давньогрецьким математиком Ератосфеном.

Ератосфен – відомий давньогрецький математик, астроном, географ, який жив у

 ІІІ ст. до н. е.  

Він був першим головою Мусею – унікального наукового центру в Александрії. Також розробив спосіб визначення географічної широти різних точок Землі й визначив із допомогою обчислень довжину земного меридіана, що остаточно довело, що наша планета має форму кулі.

“ Решето Ератосфена “ – спосіб складання таблиць простих чисел запропонований у ІІІ ст. до н.е. Ератосфеном.  

 1) Виписав підряд усі натуральні числа від 2 до п.

2) Залишав 2 і викреслював після нього всі числа через одне ( тобто парні числа: 4, 6, 8,…).

3) Залишав число 3 і викреслював після нього всі числа через два ( тобто 6, 9, 12,…).

4) Залишав число 5 і викреслював після нього всі числа через чотири (тобто 10, 15, 20,…) і т. д.

5) При цьому деякі числа викреслювалися один і більше разів, а не закреслені числа виявилися прості.  

 Числа-близнята 

 Числа-близнята – такі пари простих чисел, різниця яких дорівнює 2.

( 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13,… )

Досконалі числа

Число, яке дорівнює сумі своїх дільників, не враховуючи самого числа, називається досконалим числом.
  Наприклад :

      6 = 1+2+3;

      28 =1+2+4+7+14;

      496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.

Всього їх знайдено 24 

Прості та складені числа. Історична довідка

Перші «цеглинки» до становлення теорії чисел заклав ще в III столітті до н.е. видатний грецький математик, астроном, географ і поет Ератосфен Киренський зокрема розробивши точний, актуальний й сьогодні, спосіб виділення простих чисел серед інших натуральних, названий на його честь решетом Ератосфена. Цей спосіб був певною мірою вдосконалений Артуром Аткіном.

Одним з найосвіченіших людей свого часу став французький математик, фізик, філософ і теолог Марен Мерсенн  , що здійснив значний вплив на розвиток теорії чисел, досліджуючи властивості чисел, названих на його честь числами Мерсенна (про них йтиметься у розділах 2 і 4). Його праці й зараз широко використовуються в математиці, інформатиці (зокрема так званий «вир Мерсенна») та у криптографії.

Одним із засновників теорії чисел являється французький математик, за фахом юрист, П’єр Ферма  , автор ряду робіт у різних галузях математики, які здійснили значний вплив на подальший розвиток цієї науки. Найбільш відомими у галузі теорії чисел являються Мала й Велика теореми Ферма.

Багато чим ми завдячуємо швейцарському, німецькому і російському математику Леонарду Ейлеру  , члену Петербурзької та Берлінської Академій наук, автору більш ніж 850 наукових праць, понад 100 з яких стосуються теорії чисел. Він є послідовником і удосконалювачем вчень Ферма.

Значний внесок у розвиток теорії чисел зробив видатний німецький математик Едмунд Ландау  , який присвятив більш ніж 250 робіт математиці. Основні його праці належать до теорії простих чисел: у 1909 році він випустив двотомну монографію з першим систематичним викладом цієї теорії.

І це ще далеко не всі вчені, що присвятили своє життя такому складному, загадковому і водночас цікавому предмету, як теорія чисел.

Як вже було вказано вище, теоретично прості числа відіграють велику роль у становленні теорії чисел, а, отже, є базою для арифметики. Але, хоча цю тему неодноразово розглядали й доповнювали багато видатних вчених (див. вище), деякі питання залишаються невирішеними і до сьогодні.

Прості та складені числа. Теоретична частина

Математика –
цариця наук,
а арифметика – 

цариця математики.

Мабуть, кожна освічена людина ще з шкільного курсу математики пам’ятає такі загальновідомі поняття як прості і складені числа. У школі цей матеріал розглядають в 6-му класі.

Просте число – це натуральне число, що має два і тільки два різні натуральні дільники: одиницю і дане число.

Складене число – це натуральне число, яке має більше ніж два різні натуральні дільники.

Наприклад, 2=2*1, отже воно просте (за означенням). До речі, це число має й свої особливі властивості: воно є першим у ряді простих чисел і єдиним парним у ньому, адже всі інші парні натуральні числа, окрім 1 і самого себе, мають ще й дільник 2, а отже є складеними. Послідовність простих чисел починається так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149...

З іншого боку, 4=1*2*2, отже 4 – складене число (за означенням). Послідовність складених чисел починається так:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21…

Треба зауважити, що 1 не являється ні простим, ні складеним, оскільки має тільки один натуральний дільник – 1. З усього вищесказаного можна зробити висновок, що всі натуральні числа, окрім 1, є простими або складеними. В цьому дуже легко переконатися.

Прості та складені числа складають основу «Загальної теорії чисел», на якій базується класична математика, зокрема арифметика. І хоча вже на протязі багатьох століть (ба й тисячоліть) видатні математики поступово розробляли й пояснювали цю, на перший погляд, загальновідому й зрозумілу теорію, пов’язану з простими числами, проте навіть зараз, через стільки часу, деякі властивості й феномени простих чисел, зокрема їх хаотичний розподіл серед натуральних чисел, досі не мають належного пояснення. Окремі видатні вчені-математики присвячували їм цілі життя.